如图.直线l:y=kx+b与抛物线x2=2py相交于不同的两点A(x1.y1).B(x2.y2).且|x2-x1|=h.线段AB的中点为D.与直线l:y=kx+b平行的切线的切点为C(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线.这个公共点为切点)．(1)用k.b表示出C点.D点的坐标.并证明CD垂直于x轴,(2)求△ABC的面积.证明△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线l：y=kx+b与抛物线x²=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；
（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线l：y=kx+b代入抛物线x²=2py，求出D的坐标，设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；
（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；
（3）分别求出a₁=S_△ABC=

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

•

16p

，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．

解答：

解：（1）由直线l：y=kx+b与抛物线x²=2py，
得x²-2pkx-2pb=0，
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pb
∴点D（pk，pk²+b）…（2分）
设切线方程为y=kx+m，
代入抛物线方程可得x²-2pkx-2pm=0，
得△=4p²k²+8pm=0，
m=

pk2

，切点的横坐标为pk，得C（pk，

pk2

）…（4分）
由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（6分）
（2）∵h2=|x2-x1|2=4p²k²+8pb，∴b=

h2-4p2k2

．…（8分）
∴S_△ABC=

|CD||x₂-x₁|=

16p

．…（11分）
∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（12分）
（3）由（1）知CD垂直于x轴，|x_C-x_A|=|x_B-x_C|=

，
由（2）可得△ACE、△BCF的面积只与

有关，将S_△ABC=

16p

中的h换成

，
可得S_△ACE=S_△BCF=

•

16p

．…（14分）
记a₁=S_△ABC=

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

•

16p

，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a_n}的无穷项和，此数列公比为

，
∴封闭图形的面积S=

a1=

12p

…（18分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”．到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”．政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数	分组	频数	频率	光盘族占本组比例
第1组	[25，30）	50	0.05	30%
第2组	[30，35）	100	0.10	30%
第3组	[35，40）	150	0.15	40%
第4组	[40，45）	200	0.20	50%
第5组	[45，50）	a	b	65%
第6组	[50，55）	200	0.20	60%

（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55）岁的人群中“光盘族”所占比例；
（2）从年龄段在[35，40）与[40，45）的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队．
（i）已知选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段在[40，45）中的概率；
（ii）求2名领队的年龄之和的期望值．（每个年龄段以中间值计算）．

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某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则每台销售利润为0元；若1＜T≤3，则每台销售利润为100元；若T＞3，则每台销售利润为200元．设每台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程10x²-6x+a=0的两个根，且P₂=P₃．
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为了寻找马航MH370残骸，我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，OA=300

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（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a_n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b_n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

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（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．

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在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．

寿命（天）	频数	频率
[100，200）	20	0.10
[200，300）	30	a
[300，400）	70	0.35
[400，500）	b	0.15
[500，600）	50	0.25
合计	200	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N^*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．

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