Question

已知函数y=f（x）对于任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1，f（2）=

1

9

（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）可将x，y都换为

x

即得f（x）=f（

x

）f（

x

），由于f（2）=

1

9

，故f（x）＞0成立；
（2）可令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，根据x＞1时，f（x）＜1，得f（

x2

x1

）＜1，再根据f（xy）=f（x）f（y），得到f（x₁）＞f（x₂），然后由单调性的定义即可证到．

解答： （1）证明：∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
∴将x，y均换为

x

，有f（

x

•

x

）=f（

x

）f（

x

），
即f（x）=f²（

x

）≥0，但f（2）=

1

9

，
∴f（x）＞0；
（2）证明：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵x＞1时，f（x）＜1，
∴f（

x2

x1

）＜1，
∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
即f（x）=

f(xy)

f(y)

，
∴f（

x2

x1

）=

f(x2)

f(x1)

，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．

点评：本题主要考查抽象函数及应用，解决抽象函数常用方法：赋值法，注意准确赋值是解题的关键，同时考查证明函数的单调性的方法：定义法，注意条件的反复运用．