Question

【题目】设点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）设直线l：y=kx与E交于C，D两点，F1（-1，0），F2（1，0），若E上存在点P，使得，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），（x≠±2）（2）k的取值范围是[-）∪（0，]

【解析】

（1）设M（x，y），由题意得 ，由此能求出点M的轨迹E的方程．

（2）设C（x1，y1），P（2cos，），则=2，点P到直线l的距离d==≤，|CD|=2|y1|，k≠0，从而S△PCD=≤|y1|．从而只需4|y1|≤|y1|，由此能求出k的取值范围．

（1）设M（x，y），由题意得： （x≠±2），

化简，得点M的轨迹E的方程为，（x≠±2）．

（2）设C（x1，y1），P（2cos，），

∴=2=，

点P到直线l的距离d=≤，

∵|CD|=2|y1|，k≠0，

∴S△PCD=≤|y1|=|y1|．

∵E上存在点P，使得，

∴只需4|y1|≤|y1|，解得k2．

∵k≠0，∴k的取值范围是[-）∪（0，]．