Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0， ），则e的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ﹣1，1）
【解析】解：由椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，由AF1的中点为M，BF1的中点为N，
∴MN∥AB，|F1C|=|CO|= ，
∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，
∴|CM|=|CN|．
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴|CO|=|CM|=|CN|= ．
∴|OA|=|OB|=c=1．
∵|OA|＞b，
∴a2=b2+c2＜2c2 ，
∴e= ＞ ．
设A（x，y），
由 ，
解得： ．
AB的倾斜角α∈（0， ），
∴直线AB斜率为0＜k≤ ，
∴0＜ ≤3，
∴1﹣ ≤a2≤1+ ，
即为 ≤a≤ ，
∴e= = ∈[ ﹣1， +1]，
由于0＜e＜1，
∴离心率e的取值范围为[ ﹣1，1）．
所以答案是：[ ﹣1，1）．