Question

【题目】已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B1AE的位置，使平面B1AE⊥平面AECD，F为B1D的中点．
（1）证明：B1E∥平面ACF；
（2）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（1）连结ED交AC于O，连结OF，
因为AECD为菱形，OE=OD，
所以FO∥B1E，
所以B1E∥平面ACF．
（2）取AE的中点M，连结B1M，连结MD，则∠AMD=90°，
分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建系，
则E（，0，0），C（a，a，0），A（﹣，0，0），D（0，a，0），
B1（0，0，a），
则=（﹣，0，a），=（，a，0），=（，0，a），
设面ECB1的法向量为=（x，y，z），
则，令x=1，则=（1，﹣，），
同理面ADB1的法向量为=（1，﹣，﹣）
所以cos＜，＞==，
故平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值为

【解析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：B1E∥平面ACF；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．