Question

16．抛物线C：x²=2py，直线l：y=2p，l与C交于A、B两点，则C在A、B处的两条切线的夹角的正切值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 联立方程组求出A，B的坐标，得出切线方程，解出切线与y轴的交点坐标，利用二倍角公式得出切线夹角的正切值．

解答 解：联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=2p}\end{array}\right.$，得A（-2p，2p），B（2p，2p）．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$．
∴抛物线在A处的切线为y=-2x-2p，在B处的切线为y=2x-2p．
设p＞0，直线l与y轴交于F点，切线与y轴交于D点，
∴tan∠ADF=$\frac{|AF|}{|DF|}$=$\frac{2p}{4p}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADB=tan2∠ADF=$\frac{2•\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的切线方程，二倍角公式，属于中档题．