Question

7．设（4x-1）²⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀x²⁰⁰，求：
（1）展开式中二项式系数之和；
（2）展开式中各项系数之和；
（3）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀|；
（4）展开式中所有偶数项系数之和；
（5）展开式中所有奇数项系数之和．

Answer 1

分析 （1）展开式中二项式系数的和为${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$； 
（2）令x=1，可得展开式中各项系数的和； 
（3）令x=-1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀|的值；
（4）、（5）令x=1和x=-1得出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀=3²⁰⁰①和a₀-a₁+a₂-…+a₂₀₀=5²⁰⁰②；
①-②求出展开式中所有偶数项系数之和，
①+②得出展开式中所有奇数项系数之和．

解答 解：（1）∵（4x-1）²⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀x²⁰⁰，
展开式中二项式系数之和为
${C}_{200}^{0}$+${C}_{200}^{1}$+${C}_{200}^{2}$+…+${C}_{200}^{200}$=2²⁰⁰；
（2）令x=1，可得展开式中各项系数之和为
a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀=（4-1）²⁰⁰=3²⁰⁰；
（3）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀|=a₀-a₁+a₂+…+a₂₀₀，
令x=-1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀|=5²⁰⁰；
（4）令x=1，得展开式中各项系数之和为
a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀=（4-1）²⁰⁰=3²⁰⁰①；
令x=-1，a₀-a₁+a₂-…+a₂₀₀=5²⁰⁰②；
①-②得，2a₁+2a₃+…+2a₁₉₉=3²⁰⁰-5²⁰⁰；
∴a₁+a₃+…+a₁₉₉=$\frac{{3}^{200}{-5}^{200}}{2}$；
∴展开式中所有偶数项系数之和为$\frac{{3}^{200}{-5}^{200}}{2}$；
（5）由（4）知，①+②得，
2a₀+a₂+…+a₂₀₀=3²⁰⁰+5²⁰⁰；
∴a₀+a₂+…+a₂₀₀=$\frac{{3}^{200}{+5}^{200}}{2}$；
∴∴展开式中所有奇数项系数之和为$\frac{{3}^{200}{+5}^{200}}{2}$．

点评 本题考查了二项式系数的和与展开式中各项系数的和计算问题，也考查了赋值法的运用问题，是基础题目．