Question

【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.

（1）求证：；

（2）若平面，求二面角的大小；

（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析

【解析】

（1）先证明平面，即可得到；

（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；

（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.

（1）连交于，由题意.

在正方形中，，

所以平面，得

（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.

设底面边长为，则高.

则，，

又平面，

则平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

则，

又二面角为锐角，则二面角为；

（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，

且，

设，

则

又平面，所以，

则.

即当时，

而不在平面内，故平面.