Question

【题目】选修4—5: 不等式选讲

已知函数f(x)＝ 的定义域为R.

(Ⅰ)求实数m的取值范围；

(Ⅱ)若m的最大值为n，当正数a，b满足 ＝n时，求7a＋4b的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)

【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；

（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．

试题解析：

(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．

设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．

又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，

∴7a＋4b＝＝

＝≥＝.

当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.