Question

设双曲线C：

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁，A₂垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p，Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且

A1P

•

A2Q

=1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与A₂Q的交点M的轨迹E的方程．

Answer 1

分析：（1）利用已知

A1P

•

A2Q

=1，得到P的坐标满足的等式，又点P在双曲线上得到p的坐标满足的另一个等式，解方程组求出p的坐标，进一步得到T的坐标．
（2）利用A₁，P，M三点共线，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)，由A₂，Q，M三点共线，(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)，
从中得到x0=

2

x

，y0=

2 y

x

，又P（x₀，y₀）在双曲线上，
代入双曲线方程求出轨迹方程．

解答：解：（1）由题意得A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
则

A1P

=(x0+

2

，y0)，

A2Q

=(x0-

2

，-y0)．
由

A1P

•

A2Q

=1⇒

x

2 0

-

y

2 0

-2=1，
即x₀²-y₀²=3，①…（3分）
又P（x₀，y₀）在双曲线上，则

x 2 0

2

-

y

2 0

=1．②
联立①、②，解得：x₀=±2，由题意，x₀＞0，
∴x₀=2，
∴点T的坐标为（2，0）…（6分）
（2）设直线A₁P与A₂Q的交点M的坐标为（x，y），
由A₁，P，M三点共线，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)，①
由A₂，Q，M三点共线，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)，②
联立①、②，解得：x0=

2

x

，y0=

2 y

x

．…（9分）
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生对解析几何学知识的综合运用．