Question

设双曲线C：

x2

2

-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且

A1P

•

A2Q

=1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设

FA

=λ•

FB

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|（T为（1）中的点）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出P、Q的坐标，求得向量的坐标，利用

A1P

•

A2Q

=1，P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得结论；
（2）利用三点共线建立方程，利用P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得轨迹方程；
（3）用坐标表示

TA

+

TB

，利用韦达定理，求得模长，从而可得函数关系式，进而可求其范围．

解答：解：（1）由题，得A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），则

A1P

=(x0+

2

，y0)，

A2Q

=(x0-

2

，-y0)
由

A1P

•

A2Q

=1，可得

x

2 0

-

y

2 0

=3 …①
又P（x₀，y₀）在双曲线上，则

x 2 0

2

-

y

2 0

=1   …②
联立①、②，解得x₀=±2  
由题意，x₀＞0，∴x₀=2
∴点T的坐标为（2，0）
（2）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）
由A₁、P、M三点共线，得(x0+

2

)y=y0(x+

2

)   …③
由A₂、Q、M三点共线，得(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)   …④
联立③、④，解得x₀=

2

x

，y₀=

2 y

x

 
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1（x≠0，y≠0）
（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系，得y₁+y₂=

-2k

k2+2

  …⑤y₁y₂=

-1

k2+2

  …⑥
∵

FA

=λ

FB

，∴有

y1

y2

=λ（λ＜0）
将⑤式平方除以⑥式，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

，即λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]，可得λ+

1

λ

+2≤0
∴-

-4k2

k2+2

≤0，∴0≤k2≤

2

7

∵

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴|

TA

+

TB

|2=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

令t=

1

k2+2

，∵0≤k2≤

2

7

，∴

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，即t∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TA

+

TB

|2=f（t）=8t²-28t+16=8（t-

7

4

）²-

17

2

而t∈[

7

16

，

1

2

]，∴f（t）∈[4，

169

32

]
∴|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．