Question

【题目】设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，

∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

又∵f（x）在x=3处取得极值，

∴f′（3）=6×9﹣6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．

∴f（x）=2x3﹣12x2+18x+8

（2）解：A（1，16）在f（x）上，

由（1）可知f′（x）=6x2﹣24x+18，

f′（1）=6﹣24+18=0，

∴切线方程为y=16

【解析】（1）求出原函数的导函数，根据f（x）在x=3处取得极值，得到f′（3）=0，由此求得a的值，则函数f（x）的解析式可求；（2）由（1）得到f′（x）=6x2﹣24x+18，求得f′（1）=0，∴f（x）在点A（1，16）处的切线方程可求．