Question

10．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对x，y∈（0，+∞）恒有f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，且当x＞1时，f（x）＞1．求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 利用函数单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答 证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞1
∵对x，y∈（0，+∞）恒有f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，
∴f（x₂）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内是增函数．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．