Question

如图，已知点A（1，1）和单位圆上半部分上的动点B．
（1）若

OA

⊥

OB

，求向量

OB

；
（2）求|

OA

+

OB

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意设出B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，在根据

OA

⊥

OB

列出关于θ的三角方程即可
（2）根据|

OA

+

OB

|的定义将之转化为关于θ的三角函数

3+2(sinθ+cosθ)

，并将之平方得|

OA

+

OB

|2=3+2(sinθ+cosθ)，最后在将sinθ+cosθ平方求出范围即可

解答：解：（1）依题意，B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π（不含1个或2个端点也对）

OA

=（1，1），

OB

=（cosθ，sinθ）（写出1个即可），
因为

OA

⊥

OB

，所以

OA

•

OB

=0，即cosθ+sinθ=0，
解得θ=

3π

4

，所以OB=（-

2

2

，

2

2

）．
（2）

OA

+

OB

=（1+cosθ，1+sinθ），
则|OA+OB|=

(1+cosθ)2+(1+sinθ)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

，
∴|

OA

+

OB

|2=3+2(sinθ+cosθ)，
令t=sinθ+cosθ，则t²=1+sin2θ≤2，即t≤

2

，
∴|

OA

+

OB

|2≤3+2

2

=(

2

+1)2，有|

OA

+

OB

|≤

2

+1
当2θ=

π

2

，即θ=

π

4

时，|

OA

+

OB

|取得最大值

2

+1．

点评：本题考查了向量在几何中的应用，解三角方程以及三角函数知识，属于基础题．