Question

已知向量

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若f(θ)=

8

5

，求cos2(

π

4

-2θ)的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积的运算法则可求得函数f（x）的解析式，进而利用二倍角公式和两角和公式化简整理利用正弦函数的性质求得函数的最大值和相应的x的值．
（2）根据（1）中函数的解析式和f(θ)=

8

5

求得sin2θ-cos2θ=

3

5

两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin4θ的值，最后利用诱导公式，把sin4θ的值代入即可．

解答：解：（1）因为

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，
所以f（x）=1+sin2x+sin²x-cos²x=1+sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1
因此，当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3

8

π（k∈Z）时，f（x）取得最大值

2

+1；

（2）由f（θ）=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=

8

5

得sin2θ-cos2θ=

3

5

，
两边平方得1-sin4θ=

9

25

，即sin4θ=

16

25

．
因此，cos2(

π

4

-2θ)=cos(

π

2

-4θ)=sin4θ=

16

25

．

点评：本题主要考查了利用两角和公式和二倍角公式化简求值，诱导公式的运用，平面向量的运算．考查了学生综合运用基础知识的能力．