Question

已知函数f（x）=

2-ax

a-1

（a≠1）．
（1）若a＞0，则f（x）的定义域为

 

；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）由根式内部的代数式大于等于0，结合a的范围求解函数的定义域；
（2）分a＞0，a=0，a＜0三种情况分析，当a＞0时，根式内部的函数为一次函数，且为减函数，开方不改变单调性，只需在区间（0，1]上根式有意义，且a-1大于0即可；当a=0时为常数函数，不满足题意；当a＜0时，根式在区间（0，1]上有意义且为增函数，而a-1＜0，满足题意．

解答：解：（1）由2-ax≥0，得ax≤2，
∵a＞0，∴x≤

2

a

．
∴a＞0时，f（x）的定义域为(-∞，

2

a

]；
（2）当a＜0时，a-1＜0，-a＞0，函数g（x）=

2-ax

在（0，1]上是增函数，且2-ax＞0恒成立，
∴f（x）在区间（0，1]上是减函数；
当a=0时，函数f（x）=-

2

为常数函数，不满足题意；
当a＞0时，函数t=2-ax为减函数，则g（x）=

2-ax

为减函数，要满足函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，
则

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2．
综上，满足f（x）在区间（0，1]上是减函数的实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，2]．
故答案为：（1）(-∞，

2

a

]；（2）（-∞，0）∪（1，2]．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数单调性的性质，训练了分类讨论的解题思想方法，属中高档题．