Question

过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径．如图，已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B作准线的垂线，垂足分别为A₁、B₁．
（1）求出抛物线的通径，证明x₁x₂和y₁y₂都是定值，并求出这个定值；
（2）证明：A₁F⊥B₁F．

Answer 1

分析：（1）当AB⊥x时，根据抛物线方程得到A、B两点的坐标，直接计算可得通径的长，并且x1x2=

p2

4

、y1y2=-p2，是定值；当AB与x轴不垂直时，设AB方程的点斜式形式，并且与抛物线联解消去x得到关于y的方程，利用根与系数的关系算出y1y2=-p2，结合抛物线方程即可得到x1x2=

p2

4

，从而使命题得到证明．
（2）根据题意，得出A₁、B₁的坐标，从而得到向量

FA1

、

FB1

的坐标，计算

FA1

、

FB1

数量积并进行化简得到0，由此即可得到A₁F⊥B₁F．

解答：解：∵抛物线方程是y²=2px，
∴抛物线的焦点F(

p

2

，0)，准线x=-

p

2

（1）①当AB⊥x时，可得A(

p

2

，p)、B(

p

2

，-p)，
∴通径长为p-（-p）=2p，
可得此时x1x2=

p2

4

且y1y2=-p2，是定值．
②AB与x轴不垂直时，设AB：y=k(x-

p

2

)（k≠0）
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去x，得

k

2p

y2-y-

kp

2

=0，
由根与系数的关系，得y1y2=-p2，
再代入到抛物线方程，可得x1x2=

y12

2p

×

y22

2p

=

p2

4

，是定值．
综上所述，过焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，必有x1x2=

p2

4

、y1y2=-p2是定值；
（2）根据题意，可得A1(-

p

2

，y1)、B1(-

p

2

，y2)，F(

p

2

，0)
∵焦点F(

p

2

，0)，
∴

FA1

=(p，y1)，

FB1

=(p，y2)，
由此可得

FA1

•

FB1

=p2+y1y2=p2+(-p2)=0，
∴

FA1

⊥

FB1

，即A₁F⊥B₁F．

点评：本题给出抛物线经过焦点的弦的端点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），它们在准线上的射影点分别为A₁、B₁，求证x₁x₂和y₁y₂都是定值并证明A₁F⊥B₁F．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．