Question

已知m为常数，函数f(x)=

m-2x

1+m•2x

为奇函数．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（e^x+xe^x-k）+f（2）≤0，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

m-2x

1+m•2x

为奇函数，f（-x）+f（x）=0，可构造关于m的方程，解方程可得m的值；
（2）由m＞0，求出函数的解析式，进而根据指数函数的单调性及单调性的性质，判断出f（x）的单调性
（3）由m＞0，求出函数的解析式，结合函数的奇偶性和单调性，可将原不等式转化为e^x+xe^x-k≥-2，进而构造函数g（x）=e^x+xe^x+2，结合函数的单调性，求出函数的最值，进而求出实数k的最大值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

m-2x

1+m•2x

为奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴（m²-1）（2^x+2^-x）=0，即m²=1，
∴m=±1…（4分）
（2）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
由y=1+2^x为增函数，故y=

2

1+2x

为减函数
故f(x)=

1-2x

1+2x

在R上单调递减…（7分）
（3）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

由f（e^x+xe^x-k）≤-f（2）=f（-2），得e^x+xe^x-k≥-2，…（9分）
即k≤e^x+xe^x+2．
而g（x）=e^x+xe^x+2在[-2，2]上单调递增，
所以在x=2时，g（x）的最大值为3e²+2．
∴k≤3e²+2，
从而kmax=3e2+2…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数单调性的性质及函数奇偶性的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．