Question

【题目】设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn ， 已知4Sn=an2+2an ．
（1）求a1级数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}前n项和为Tn ， 且bn= ，若λTn＜n+（﹣1）n36对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=an2+2an，

∴4Sn+1=an+12+2an+1，

两式相减得：4an+1=an+12+2an+1﹣（an2+2an），

整理得：（an+1+an）（an+1﹣an）=2（an+1+an），

又∵数列{an}的各项都为正数，

∴an+1﹣an=2，

又∵4a1= +2a1，

∴a1=2或a1=0（舍），

∴数列{an}的通项公式an=2n

（2）解：bn=

=

=

= ﹣ ，

∴Tn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ，

∵λTn＜n+（﹣1）n36对n∈N*恒成立，

∴λ＜ =n+1+（﹣1）n 对n∈N*恒成立，

记f（n）=n+1+（﹣1）n ，

当n为偶数时，f（n）=n+1+

=37+n+

≥37+2 =37+26=49，

当且仅当n= 即n=6时取等号；

当n为奇数时，f（n）=n+1﹣

=n﹣ ﹣35

≥1﹣ ﹣35=﹣70；

综上所述，实数λ的取值范围为：（﹣∞，﹣70）

【解析】（1）利用4Sn=an2+2an与4Sn+1=an+12+2an+1作差、整理得an+1﹣an=2，进而计算可得结论；（2）通过裂项、并项相加可知Tn= ，进而问题转化为求f（n）=n+1+（﹣1）n 的最小值，通过对n分奇数、偶数两种情况讨论即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．