Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2，

经检验知：k=2满足题意

（2）解：∵f（1）= ，a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，

解得a=2或﹣ ，其中a=﹣ 舍去．

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，

∵x≥1，∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ），

若m≥ ，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2． …（10分）

若m＜ ，当t= 时，h（t）min= ﹣﹣3m=﹣2，解得m= ＞ ，舍去．

综上可知：m=2

【解析】（1）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出；（2）利用f（1）= ，可得a．可得g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．再利用指数函数与二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．