Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若对任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），

∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]，

∴ ，

即 ，解得a=2

（2）解：若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）﹣a≤a﹣1

∴f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2．

∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

∴f（x）max﹣f（x）min≤4，即（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得﹣1≤a≤3，

又a≥2，∴2≤a≤3．

若1＜a＜2，fmax（x）=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（a）=5﹣a2，

f（x）max﹣f（x）min≤4显然成立，综上1＜a≤3

【解析】（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4”转化成对任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，总有f（x）max﹣f（x）min≤4恒成立即可．
【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值域对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．