Question

14．已知函数f（x）=x²+$\frac{54}{x}$，若函数y=f（x）-f（a）有三个零点，则实数a的取值范围（-∞，-6）∪（0，3）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 求导f′（x）=2x-$\frac{54}{{x}^{2}}$=$\frac{2x（x-3）（{x}^{2}+3x+9）}{{x}^{2}}$，从而确定函数的单调性及最值，从而结合图象解出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²+$\frac{54}{x}$，
∴f′（x）=2x-$\frac{54}{{x}^{2}}$=$\frac{2x（x-3）（{x}^{2}+3x+9）}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，
在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增；
f（3）=9+18=27，
故f（a）=a²+$\frac{54}{a}$＞18=f（3），
即$\frac{（a+6）（a-3）^{2}}{a}$＞0，
解得，a＜-6或0＜a＜3或3＜a，
故答案为：（-∞，-6）∪（0，3）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．