Question

2．△ABC的三个内角分别为A、B、C，当∠A=α时，2sin$\frac{A}{2}$-cos（B+C）取得最大值．
（1）求α的值；
（2）如果∠A的对边等于2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与二次函数的单调性即可得出；
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质可得bc的最大值，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）2sin$\frac{A}{2}$-cos（B+C）=cosA+2sin$\frac{A}{2}$=$1-2si{n}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
当$sin\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$时，∵A∈（0，π），∴$\frac{A}{2}$∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$=α．
（2）∵${2}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了倍角公式、二次函数的单调性、余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．