Question

12．求函数y=f（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$在区间[0，4]上的最值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得极值点，再求得[0，4]的单调区间，即可得到所求最值．

解答 解：f（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$的导数为f′（x）=$\frac{1+2x-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）=0，可得x=1+$\sqrt{2}$，（负的舍去），
即有f（x）在[0，1+$\sqrt{2}$]递增，在[1+$\sqrt{2}$，4]递减，
可得x=1+$\sqrt{2}$时，f（x）取得最大值，且为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
x=0时，f（0）=-1；x=4时，f（4）=$\frac{3}{17}$．
即有f（0）为最小值，且为-1．
函数y=f（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$在区间[0，4]上的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；最小值为-1．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数求得单调性，考查运算能力，属于中档题．