Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a_n；
（2）求数列b_n=a_n+2ⁿ的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过当n=k时S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn取得最大值可知k=4，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1，进而计算可得结论；
（2）通过（1），分组求和，进而相加即得结论．

解答 解：（1）当n=k时S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn取得最大值，
此时8=-$\frac{1}{2}$k²+k²，即k²=16，
又∵k∈N₊，
∴k=4，
∴S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（-$\frac{1}{2}$n²+4n）-[-$\frac{1}{2}$n（-1）²+4（n-1）]
=-n+$\frac{9}{2}$，
又∵a₁=S₁=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$满足上式，
∴a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n+2ⁿ=-n+$\frac{9}{2}$+2ⁿ，
∴T_n=$\frac{9}{2}$n-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{9}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+2ⁿ⁺¹-2
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{2}$n²+4n-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组法求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．