Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，且夹角为60°，若向量$\overrightarrow{p}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{p}$|=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{p}$|的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{p}$=（x，y），可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故向量$\overrightarrow{p}$的终点在以C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，半径等于$\frac{1}{2}$的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，且夹角为60°，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{p}$=（x，y）
则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{p}$=（$\frac{1}{2}$-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{p}$|=$\frac{1}{2}$，即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
故向量$\overrightarrow{p}$的终点在以C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，半径等于$\frac{1}{2}$的圆上，
∴|$\overrightarrow{p}$|的最大值为|OA|=|OC|+r=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于中档题．