Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，若$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 令-1＜cos＜$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞＜0解出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1．（$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+k$\overrightarrow{b}$²=4k-1．
（$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+k²$\overrightarrow{b}$²=4k²-2k+1．∴|$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{4k-1}{2\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}}$，
∵$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，∴-1＜$\frac{4k-1}{2\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}}$＜0．
解得k＜$\frac{1}{4}$．
故答案为（-∞，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与应用，求出夹角的余弦是关键．