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命题:
(1)若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是[a-1,2a],则f(x)在区间是减函数.
(2)如果一个数列{an}的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0.
(3)曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程为:4x-y-1=0.
(4)已知集合P∈{(x,y)|y=k},Q∈{(x,y)|y=ax+1,a>0且a≠1},若P∩Q只有一个子集.则k<1.
以上四个命题中,正确命题的序号是   
【答案】分析:根据函数奇偶性的定义和二次函数单调性的结论,得到(1)正确;根据等比数列的通项与性质,结合已知Sn求的an方法,通过正反论证可得(2)正确;曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程为:4x-y-1=0或7x-4y+3=0,故(3)不正确;p∩Q只有一个子集,说明p∩Q是空集,集合Q中,y=ax+1>1,(a>0且a≠1)故k≤1时,P∩Q=∅,故(4)不正确.
解答:解:(1)∵偶函数的定义域关于原点对称,
∴a-1+2a=0,a=
∵f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,∴b=0,
∴f(x)=
∴f(x)在区间是减函数,故(1)正确;
(2)数列{an}的前n项和Sn=abn+c,
可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=abn-1(b-1),
当n=1时,a1=S1=ab+c,
接下来讨论充分性与必要性,
若a+c=0,则ab+c=a(b-1)=ab1-1(b-1),
可得数列的通项为an=a(b-1)bn-1
∵a≠0,b≠0,b≠1,
∴数列{an}构成以a(b-1)为首项,公比为b的等比数列.故充分性成立;
反之,若此数列是等比数列,得
∵当n≥2时,an=abn-1(b-1),公比为b
∴a2=ab1(b-1)=ba1=b(ab+c)
∴-ab=bc⇒b(a+c)=0
∵b≠0,
∴a+c=0,故必要性成立,说明(2)正确;
(3)∵y=x3+x+1,∴y′=3x2+1,
∴y=x3+x+1在()处的切线方程为:
y-=(3+1)(x-x),
∵点(1,3)在切线上,
∴3-=(3+1)(1-x),
解得,或x=1,
∴曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程为:4x-y-1=0或7x-4y+3=0,故(3)不正确;
(4)p∩Q只有一个子集,说明p∩Q是空集,
集合Q中,y=ax+1>1,(a>0且a≠1)
故k≤1时,P∩Q=∅,故(4)不正确.
故答案为:(1)(2).
点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,注意函数性质、等比数列、切线方程、集合等知识点的灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列六个命题:
(1)若f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
(2) y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称.
(3)y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是相同的函数.
(4)y=(
1
2
)|x|-sin2x+2009
无最大值也无最小值.
(5)y=
2tanx
1-tan2x
的周期为π
(6)y=sinx(0≤x≤2π)有对称轴两条,对称中心三个.
则正确命题的个数是(  )
A、1个B、2个C、3个D、0个

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科目:高中数学 来源: 题型:

命题:
(1)若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是[a-1,2a],则f(x)在区间(-
2
3
,-
1
3
)
是减函数.
(2)如果一个数列{an}的前n项和Sn=abn+c,(a≠0,b≠1,c≠1)则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0.
(3)曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程为:4x-y-1=0.
(4)已知集合P∈{(x,y)|y=k},Q∈{(x,y)|y=ax+1,a>0且a≠1},若P∩Q只有一个子集.则k<1.
以上四个命题中,正确命题的序号是
(1)(2)
(1)(2)

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)=ax2+b|x-m|+c  (其中a、b、m、c为常数,x∈R),有下列三个命题:
(1)若f(x)为偶函数,则m=0;
(2)不存在实数a、b、m、c,使f(x)是奇函数而不是偶函数;
(3)f(x)不可以既是奇函数又是偶函数.其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•宝坻区一模)下列命题:
(1)若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
)
,则f(sinθ)>f(cosθ);
(2)若锐角α,β满足cosα>sinβ,则α+β<
π
2

(3)若f(x)=sin2xcos2x,则f(x)的最小正周期为
π
2

(4)要得到函数y=cos(
x
2
-
π
4
)的图象只需将y=sin
x
2
的图象向左平移
π
4
个单位.
其中正确命题的个数有
2
2
个.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

给出下列六个命题:
(1)若f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
(2) y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称.
(3)y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是相同的函数.
(4)y=(
1
2
)|x|-sin2x+2009
无最大值也无最小值.
(5)y=
2tanx
1-tan2x
的周期为π
(6)y=sinx(0≤x≤2π)有对称轴两条,对称中心三个.
则正确命题的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.0个

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