Question

已知函数f(x)=-x3+

1

2

ax2+b．
（1）若y=f（x）在x=1处的极值为

5

2

，求y=f（x）的解析式并确定其单调区间；
（2）当x∈（0，1]时，若y=f（x）的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求当0≤θ≤

π

4

时a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为函数在x=1处的极值为

5

2

，所以在在x=1处的导数等于0，且在x=1处的函数值为

5

2

，就可得到两个关于a，b的等式，解出a，b求出函数的解析式．再列表判断函数在那个范围内导数大于0，即为增区间，在那个范围内导数小于0，即为减区间．
（2）因为切线的斜率是倾斜角的正切值，所以当0≤θ≤

π

4

时，0≤k≤1，而切线的斜率又是函数在切点处的导数，所以当x∈（0，1]时，f（x）的图象上任意一点处的导数属于[0，1]，这样就可得到含参数a的不等式0≤-3x²+ax≤1在x∈（0，1]上恒成立，再据此求出参数a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+ax，由题意知

f/(1)=0 f(1)= 5 2

∴

-3+a=0 -1+ 1 2 a+b= 5 2

⇒a=3，b=2，
∴f(x)=-x3+

3

2

x2+2
∴f′（x）=-3x²+3x=-3x（x-1），可得函数的单调性如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减		递增		递减

∴f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（-∞，0）及（1，+∞）
（2）∵tanθ=-3x²+ax，
∴0≤-3x²+ax≤1在x∈（0，1]上恒成立，
当0≤-3x²+ax时，可得a≥3x，∴a≥3
当-3x²+ax≤1时，a≤

1

x

+3x，
又

1

x

+3x≥2

3

（当且仅当x=

3

3

时取等号），∴a≤2

3

，
综合得3≤a≤2

3

点评：本题主要考查导数在求函数极值，单调区间中的应用，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率之间的关系．