Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程.

（2）当时，若对任意的，都有，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；

（2）求得的导数，讨论，，的单调区间，考虑在，的单调性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范围．

解：（1）当时，，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率，

又，所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）由，

得.

当时，，在上单调递增，

则，显然成立；

当时，由，得；

由，得，

所以在上单调递减，在和上单调递增.

①时，，在上单调递减，

所以，

所以对任意的，都有等价于，

即，

解得，

又，所以；

②当时，，

所以在上的最小值为.

又当时，，显然成立.

综上，实数a的取值范围为.