Question

已知函数f(x)=1-

a

x

，g(x)=

lnx

x

，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）如果当x∈（0，1）时，t•g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求导函数，利用导数的几何意义，结合函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直，可求a的值；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，当x∈（0，1）时，t•g（x）≤f（x）恒成立，即t×

lnx

x

≤1-

1

x

(0＜x＜1)恒成立，进而构造函数h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），确定函数的单调性，分类讨论，从而可确定t的取值范围．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=

a

x2

∴f′（1）=a
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1
∴a=1；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，
当x∈（0，1）时，t•g（x）≤f（x）恒成立，即t×

lnx

x

≤1-

1

x

(0＜x＜1)恒成立
∴tlnx≤x-1（0＜x＜1）恒成立
显然t≤0时，式子不恒成立
t＞0时，式子tlnx≤x-1（0＜x＜1）可化为tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）
构造函数h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），
∴h′(x)=

t

x

-1
令h′(x)=

t

x

-1＞0可得0＜x＜t，令h′(x)=

t

x

-1＜0可得x＞t，
∴t∈（0，1），h（t）＞h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）不恒成立
t∈[1，+∞），x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）恒成立
综上可得，t的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查分类讨论的数学思想．