Question

【题目】如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱、交于，，设，，给出以下四个命题：

①平面平面；

②当且仅当时，四边形的面积最小；

③四边形周长，是单调函数；

④四棱锥的体积为常函数；

以上命题中假命题的序号为（ ）．

A. ①④ B. ② C. ③ D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】①连接，，

在正方体中，

平面，

∴平面平面，①正确；

②连接，

∵平面，

四边形的对角线是固定的，

要使面积最小，

只需的长度最小即可，

此时为棱中点，，

长度最小，对应四边形的面积最小，②正确；

③∵，

∴四边形是菱形，

当时，长度由大变小，

当时，长度由小变大，

∴函数不是单调函数，③错误；

④连接，，，

四棱锥分割成两个小三棱锥，

以为底，分别以、为顶点，

∵面积是个常数，

、到平面的距离是个常数，

∴四棱锥的体积为常函数，④正确．