Question

y=tan

x

2

满足了下列哪些条件（填序号）

 

①定义域为[x|x≠

π

4

+

kπ

2

，k∈Z]；
②以π为最小正周期；
③为奇函数；
④在（0，

π

2

）上单调递增；
⑤关于点（kπ，0），（k∈Z）成中心对称．

Answer 1

考点：正切函数的奇偶性与对称性,正切函数的单调性,正切函数的周期性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用正切函数的图象和性质，判断所给的各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：∵函数y=tan

x

2

，∴

x

2

≠kπ+

π

2

，k∈z，即 x≠2kπ+π，k∈z，
故函数的定义域为 {x|x≠2kπ+π，k∈z }，故①不正确．
由于函数的最小正周期为

π

1 2

=2π，故②不正确．
令f（x）=y=tan

x

2

，则由它的定义域关于原点对称且f（-x）=tan（-

x

2

）=-tan

x

2

=-f9x），
可得函数f（x）为奇函数，故③正确．
由于y=tanx在（0，

π

2

）上是增函数，故f（x）=tan

x

2

 在（0，π）上是增函数，
故f（x）=tan

x

2

在（0，

π

2

）上单调递增，故④正确．
令

x

2

=

kπ

2

，k∈z，求得 x=kπ，k∈z，故f（x）=tan

x

2

关于点（kπ，0），（k∈Z）成中心对称，
故⑤正确．
综上可得，只有③④⑤正确，
故答案为：③④⑤．

点评：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．