Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F₁AB=90°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF2

？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得到A，B的坐标，写出向量

AF1

，

AB

的坐标，把∠F₁AB=90°转化为两向量的数量积等于0得到b²=ac，结合b²=a²-c²列式求得椭圆C的离心率e；
（2）写出过点F₂、P的直线l的点斜式方程，求出R的纵坐标，设出P的坐标，由

RP

=-2

PF2

得到P点的坐标，把P的坐标代入椭圆方程得到

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1，又b²=ac，代入后得到关于椭圆离心率的方程，把（1）中求出的离心率代入求得k的值为负值，从而说明直线不存在．

解答：解：（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），
则

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)
∵∠F1AB=90°，∴

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，∴b²=ac，
∴c²+ac-a²=0，即(

c

a

)2+

c

a

-1=0，解得e=

c

a

=

5 -1

2

；
（2）显然直线l的斜率存在．
设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x₀，y₀），
由

RP

=-2

PF2

，得（x₀，y₀+kc）=-2（c-x₀，-y₀），
得P（2c，kc），代入椭圆方程得，

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1，又b²=ac，
所以4(

c

a

)2+k2•

c

a

-1=0，
将

c

a

=

5 -1

2

代入得，k2=

5-3 5

2

＜0，矛盾．
故不存在满足题意的直线l．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，是中高档题．