Question

2．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式=0，求出b的值，再求出f（x）的对称轴，从而求出a的值，求出函数的表达式即可；
（2）结合函数的对称轴通过讨论t的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（3）根据函数的单调性得到关于m、n的方程组，求出m、n的值即可．

解答 解：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax²+（b-2）x=0有两等根，
∴△=（b-2）²=0，解得b=2，
∵f（x-1）=f（3-x），∴x=1是函数的对称轴，
又此函数图象的对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$，∴-$\frac{b}{2a}$=1，∴a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（2）∵函数f（x）=-x²+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，
∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）_max=-t²+2t，
当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）_max=f（1）=1，
综上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{1，t＞1}\\{-{t}^{2}+2t，t≤1}\end{array}\right.$．
（3）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$．
而抛物线y=-x²+2x的对称轴为x=1，∴当n≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=4m}\\{f（n）=4n}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$，又m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性最值问题，是一道中档题．