Question

10．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1
（1）求函数f（x）的最大值和最小值及取得最大、最小值时的自变量x的集合；
（2）当x∈[-π，π]时，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值和最小值及取得最大、最小值时的自变量x的集合．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间，再根据x∈[-π，π]，可得结论．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，它的最大值为1，
此时，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
它的最大值为1，此时，2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x的取值集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再根据x∈[-π，π]，可得增区间为[-π，-$\frac{5π}{6}$]、[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，π]．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，正弦函数的单调性，属于基础题．