Question

已知函数f(x)=x²-2acoskπ·lnx(k∈N*，a∈R，且a＞0)，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若k=2010，关于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，得x＞0且f′(x)=，
当k是奇数时，则f′(x)＞0，则f(x)在(0，+∞)上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=，
所以当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
故当k是偶数时，f(x)在上是减函数，在上是增函数．
(Ⅱ)若k=2010，则f(x)=x²-2alnx(k∈N*)，
记g(x)=f(x)-2ax=x²-2alnx-20x，
g′(x)=，
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；
令g′(x)=0，得x²-ax-a=0，
因为a＞0，x＞0，所以(舍去)，，
当x∈(0，x₂)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，x₂)是单调递减函数；
当x∈(x₂，+∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(x₂，+∞)上是单调递增函数．
当x=x₂时，g′(x₂)=0，g(x)_min=g(x₂)．
因为g(x)=0有唯一解，所以g(x₂)=0，
则，即，
两式相减，得2alnx₂+ax₂-a=0，
因为a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0， (*)
设函数h(x)=21nx+x-1，
因为在x＞0时，h(x)是增函数，所以h(x)=0至多有一解，
因为h(1)=0，
所以方程(*)的解为x₂=1，从而解得。