Question

6．已知f（x）=e${\;}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{4}$，其中e为自然对数的底数．
（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（-1，+∞）上的单调性；
（2）若F（x）=ln（x+1）-af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．
（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e${\;}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{4}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{4}$，
∴g（x）=（x+1）（$\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{4}$），
∴g′（x）=$\frac{1}{4}$[（x+3）${e}^{\frac{x}{2}}$-1]，
当x＞-1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，+∞）上单调递增．
（2）由F（x）=ln（x+1）-af（x）+4知，F′（x）=$\frac{a}{x+1}$（$\frac{1}{a}$-g（x）），
由（1）知，g（x）在（-1，+∞）上单调递增，且g（-1）=0 可知当x∈（-1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），
则F′（x）=$\frac{a}{x+1}$（$\frac{1}{a}$-g（x））有唯一零点，
设此零点为x=t，易知x∈（-1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．
知F（x）_max=F（t）=ln（t+1）-af（t）+4，
其中a=$\frac{1}{g（t）}$，
令G（x）=ln（x+1）-$\frac{f（x）}{g（x）}$+4，
则G′（x）=$\frac{f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$，
易知f（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴G′（x）＞0，G（x）在（-1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，
①当0＜a＜4时，g（t）=$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{4}$=g（0），
由g（x）在（-1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）_max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，
由F（x）在（-1，t）上单调递增，-1＜e^-4-1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（-1，+∞）上均恒成立，
则F（e^-4-1）=-af（e^-4-1）＜0，
∴F（t）F（e^-4-1）＜0
∴F（x）在（-1，t）上有零点，与条件不符；
②当a=4时，g（t）=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$=g（0），由g（x）的单调性可知t=0，
则F（x）_max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；
③当a＞4时，g（t）=$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{4}$=g（0），由g（x）的单调性知t＜0，
则F（x）_max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此时F（x）没有零点．
综上所述，当F（x）=ln（x+1）-af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a∈（4，+∞）．

点评 本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．