Question

11．在等差数列{a_n}中，a₁=3，其中前n项和为S_n．等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₃=21，b₃=S₂
（1）求a_n与b_n
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的通项公式，b₂+S₃=21，b₃=S₂，联立解方程组，解得q和d，
（2）分别写出等比数列和等差数列的前n项和S_n、T_n，S₁₅=360，4T_n＞S₁₅，解得n≥5．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}+{S}_{3}=21}\\{{b}_{3}={S}_{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{q+9+3d=21}\\{{q}^{2}=6-d}\end{array}\right.$，解得：q=3或q=-$\frac{10}{3}$（舍去），则d=3．
∴a_n=3n，${b}_{n}={3}^{n-1}$；
（2）由（1）得：T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$，
S₁₅=$\frac{15×（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=$\frac{15×（3+45）}{2}$=360，
4T_n＞S₁₅恒成立等价于4×$\frac{{3}^{n}-1}{2}$＞360，即3ⁿ＞181，则n≥5，
∴使得不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整数n的数值为5．

点评 本题考查求等比和等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．