Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+n²（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2n-3}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+3•{2}^{n}}$，求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=2a_n+n²与S_n-1=2a_n-1+（n-1）²（n≥2）作差可知a_n=2a_n-1-2n+1，进而化简$\frac{{a}_{n}-2n-3}{{a}_{n-1}-2（n-1）-3}$即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b_nb_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+5}$），进而并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵S_n=2a_n+n²，S_n-1=2a_n-1+（n-1）²（n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1+2n-1，即a_n=2a_n-1-2n+1，
∴$\frac{{a}_{n}-2n-3}{{a}_{n-1}-2（n-1）-3}$=$\frac{2{a}_{n-1}-2n+1-2n-3}{{a}_{n-1}-2n-1}$=$\frac{2（{a}_{n-1}-2n-1）}{{a}_{n-1}-2n-1}$=2，
故数列{a_n-2n-3}是等比数列；
（Ⅱ）解：由（I）可知，数列{a_n-2n-3}是公比为2的等比数列，
又∵a₁-2-3=-6，
∴a_n-2n-3=-6•2^n-1=-3•2ⁿ，
又∵a_n=3+2n-3•2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+3•{2}^{n}}$=$\frac{1}{2n+3}$，
∵b_nb_n+1=$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+5}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+5}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{2n+5}$）
=$\frac{n}{5（2n+5）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．