Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n-1，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：{a_n+n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=2a_n+n-1化简$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）}{{a}_{n}+n}$即得结论；
（Ⅱ）通过a₁=1可知数列{a_n+n}是首项、公比均为2的等比数列，进而可求出数列{a_n}的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n+n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）}{{a}_{n}+n}$=$\frac{2{a}_{n}+n-1+（n+1）}{{a}_{n}+n}$=2，
∴数列{a_n+n}为等比数列；
（Ⅱ）解：∵a₁+1=2，
∴数列{a_n+n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n+n=2ⁿ，即a_n=-n+2ⁿ，
∴S_n=-（1+2+…+n）+（2¹+2²+…+2ⁿ）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．