Question

5．在△ABC中，BC=$\sqrt{6}$，|${\;\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}\;}$|=2．
（1）求证：△ABC三边的平方和为定值；
（2）当△ABC的面积最大时，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积定义和余弦定理整体可得AB²+AC²=10，代值可得答案；
（2）由（1）知AB²+AC²=10，由基本不等式和三角形的面积公式可得S的最小值，以及取最小值时的条件，由三角函数的定义可得．

解答 （1）证明：∵$|{\;\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}\;}|=2$，∴AB•AC•cosA=2，
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
代入数据可得${（\sqrt{6}）^2}=A{B^2}+A{C^2}-4$，整理可得AB²+AC²=10，
∴△ABC三边的平方和AB²+BC²+AC²=10+6=16为定值；
（2）由（1）知AB²+AC²=10，∴$AB•AC\;≤\;\frac{{A{B^2}+A{C^2}}}{2}=5$，
当且仅当AB=AC时取“=”号，∵AB•AC•cosA=2，∴$cosA=\frac{2}{AB•AC}$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\sqrt{\;1-\frac{4}{{A{B^2}•A{C^2}}}}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•AC•sinA=\frac{1}{2}AB•AC•\sqrt{\;1-\frac{4}{{A{B^2}•A{C^2}}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B^2}A{C^2}-4}\;≤\;\frac{1}{2}\sqrt{25-4}=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，当且仅当AB=AC时取“=”号．
∵AB²+AC²=10，∴当AB=AC时，$AB=AC=\sqrt{5}$，
∴$cosB=\frac{{\;\frac{BC}{2}\;}}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函数定义，属中档题．