Question

10．设实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≥x-1}\\{y≤5-2x}\end{array}\right.$，（2，1）是目标函数z=-ax+y取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1]
• C． （-∞，-2）
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用2，1）是目标函数z=-ax+y取最大值的唯一最优解，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
则A（1，0），B（2，1），C（0，5）
由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，
当a=0时，y=z在C的截距最大，此时不满足条件，
当a＞0时，直线y=ax+z，在C处的截距最大，此时不满足条件．
当a＜0时，直线y=ax+z，要使，（2，1）是目标函数z=-ax+y取最大值的唯一最优解，
则y=ax+z在B处的截距最大，此时满足目标函数的斜率a小于直线BC的斜率-2，
即a＜-2，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．