Question

20．已知公差为正数的等差数列{a_n}满足a₁=1，2a₁，a₃-1，a₄+1成等比数列．
（Ⅰ） 求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若a₂，a₅分别是等比数列{b_n}的第1项和第2项，求使数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和T_n$＜\frac{99}{200}$的最大正整数n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设数列{a_n}的公差为d（d＞0），利用2a₁（a₄+1）=${（{a_3}-1）^2}$化简、计算可知d=2，进而可得结论；
（Ⅱ） 通过（Ⅰ）知数列$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{3}$为首项、以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可知问题转化解不等式$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜\frac{99}{100}$，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由已知可得2a₁（a₄+1）=${（{a_3}-1）^2}$，即2（1+3d+1）=（1+2d-1）²，
整理得2d²-3d-2=0，
解得：$d=-\frac{1}{2}$（舍去）或d=2，
所以{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，n∈N^*；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
所以等比数列{b_n}的公比q=3，
于是$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{3}$为首项、以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
所以${T_n}=\frac{{\frac{1}{3}×（1-{{（\frac{1}{3}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（1-{（\frac{1}{3}）^n}）$，
由${T_n}＜\frac{99}{200}$，得$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜\frac{99}{100}$，即${（\frac{1}{3}）^n}＞\frac{1}{100}$，
则满足不等式的最大正整数n=4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．