Question

5．已知数列{a_n}的通项公式为 a_n=（n-k₁）（n-k₂），其中k₁，k₂∈Z：
（1）试写出一组k₁，k₂∈Z的值，使得数列{a_n}中的各项均为正数；
（2）若k₁=1、k₂∈N^*，数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且对任意m∈N^*（m≠3），均有b₃＜b_m，写出所有满足条件的k₂的值；
（3）若0＜k₁＜k₂，数列{c_n}满足c_n=a_n+|a_n|，其前n项和为S_n，且使c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S₁、S₂、…、S_n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k₁，k₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过函数f（x）=（x-k₁）（x-k₂）是与x轴交于k₁、k₂两点且开口向上的抛物线可知，只需知k₁、k₂均在1的左边即可；
（2）通过k₁=1化简可知b_n=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$-（1+k₂），排除k₂=1、2可知k₂≥3，此时可知对于f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$而言，当n≤$\sqrt{{k}_{2}}$时f（n）单调递减，当n≥$\sqrt{{k}_{2}}$时f（n）单调递增，进而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}＞{b}_{3}}\\{{b}_{3}＜{b}_{4}}\end{array}\right.$即得结论；
（3）通过0＜k₁＜k₂及a_n=（n-k₁）（n-k₂）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{n＜{k}_{1}或n＞{k}_{2}}\\{0，}&{{k}_{1}≤n≤{k}_{2}}\end{array}\right.$，结合c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j）可知0＜i＜k₁＜k₂＜j，从而可知k₁的最小值为5，通过S₁、S₂、…、S_n中至少3个连续项的值相等可知5=k₁≤m+1＜m+2＜…＜k₂，进而可得k₂的最小值为6．

解答 解：（1）k₁=k₂=0；
（2）∵k₁=1、k₂∈N^*，a_n=（n-k₁）（n-k₂），
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{（n-1）（n-{k}_{2}）}{n}$=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$-（1+k₂），
当k₂=1、2时，f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$均单调递增，不合题意；
当k₂≥3时，对于f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$可知：
当n≤$\sqrt{{k}_{2}}$时f（n）单调递减，当n≥$\sqrt{{k}_{2}}$时f（n）单调递增，
由题意可知b₁＞b₂＞b₃、b₃＜b₄＜…，
联立不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}＞{b}_{3}}\\{{b}_{3}＜{b}_{4}}\end{array}\right.$，解得：6＜k₂＜12，
∴k₂=7，8，9，10，11；
（3）∵0＜k₁＜k₂，a_n=（n-k₁）（n-k₂），
∴c_n=a_n+|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{n＜{k}_{1}或n＞{k}_{2}}\\{0，}&{{k}_{1}≤n≤{k}_{2}}\end{array}\right.$，
∵c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j），
∴i、j∉（k₁，k₂），
又∵c_n=2[n²-（k₁+k₂）n+k₁k₂]，
∴$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{2}$=$\frac{i+j}{2}$，
∴0＜i＜k₁＜k₂＜j，
此时i的四个值为1，2，3，4，故k₁的最小值为5，
又S₁、S₂、…、S_n中至少3个连续项的值相等，
不妨设S_m=S_m+1=S_m+2=…，则c_m+1=c_m+2=…=0，
∵当k₁≤n≤k₂时c_n=0，
∴5=k₁≤m+1＜m+2＜…＜k₂，
∴k₂≥6，即k₂的最小值为6．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．