Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4（a₃+1），3a₃=5a₄，数列{b_n}是等比数列，且b₁b₂=b₃，2b₁=a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （ I）通过令等差数列{a_n}的公差为d，联立S₄=4（a₃+1）、3a₃=5a₄，计算可得首项和公差，进而可得a_n=11-2n；通过令数列{b_n}的公比为q，联立b₁b₂=b₃、2b₁=a₅，计算可知首项和公比，进而可得${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$；
（2）通过（I）知，${S_n}=10n-{n^2}$，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．

解答 解：（ I）令等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₄=4（a₃+1），3a₃=5a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}4{a_1}+6d=4（{{a_1}+2d+1}）\\ 3{a_1}+6d=5{a_1}+15d\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=9\\ d=-2\end{array}\right.$，
则a_n=11-2n；
令数列{b_n}的公比为q，
∵b₁b₂=b₃，2b₁=a₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b_1}^2q={b_1}{q^2}\\ 2{b_1}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=\frac{1}{2}\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
则${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$；
（2）通过（I）知，${S_n}=10n-{n^2}$，
于是${T_n}=\left\{\begin{array}{l}{S_n}=10n-{n^2}，n≤5\\ 2{S_5}-{S_n}={n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．