Question

8．数列{a_n}满足：${a_3}=\frac{1}{5}，{a_n}-{a_{n+1}}=2{a_n}{a_{n+1}}$，则数列{a_na_n+1}前10项的和为（　　）

• A． $\frac{10}{21}$
• B． $\frac{20}{21}$
• C． $\frac{9}{19}$
• D． $\frac{18}{19}$

Answer 1

分析 通过对a_n-a_n+1=2a_na_n+1变形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，进而可知a_n=$\frac{1}{2n-1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n-a_n+1=2a_na_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵$\frac{1}{{a}_{3}}$=5，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$+2（n-3）=2n-1，即a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴所求值为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{21}$）=$\frac{10}{21}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查并项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．