Question

1．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2^n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1-b_n=2n+3，且c_n=$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{n}$，求数列{c_n}的通项公及前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）采用累加法求得${a}_{n}-{a}_{1}={2}^{n-1}-1$，求得{a_n}的通项公式，
（2）采用累加法求得数列{b_n}的通项公式，整理写出数列{c_n}的通项公式，c_n=（n+2）•2^n-1，数列{c_n}是由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=4，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}={2}^{n-2}$，
以上各式相加，得：${a}_{n}-{a}_{n-1}=1+2+4+…+{2}^{n-2}$，
∴${a}_{n}-{a}_{1}={2}^{n-1}-1$，
∵a₁=1，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=2n+3，
b₂-b₁=5，
b₃-b₂=7，
b₄-b₃=9，
…
b_n-b_n-1=2n+1，
以上各式相加得：
b_n-b₁=5+7+9+…+2n+1，
${b}_{n}-{b}_{1}=\frac{（n-1）（2n+6）}{2}$=n²+2n-3，

b₁=3，
∴${b}_{n}={n}^{2}+2n=n（n+2）$，
c_n=$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{n}$=$\frac{{2}^{n-1}•n（n+2）}{n}=（n+2）•{2}^{n-1}$，
c_n=（n+2）•2^n-1，
T_n=3×2⁰+4×2¹+5×2²+…+（n+2）•2^n-1，
2T_n=3×2¹+4×2²+5×2³+…+（n+1）•2^n-1+（n+2）•2ⁿ，
两式相减，得：-T_n=3×2⁰+（2¹+2²+…+2^n-1）-（n+2）•2ⁿ，
=3+（2ⁿ-2）-（n+2）2ⁿ=-（n+1）•2ⁿ+1，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ-1．

点评 本题考查采用累加法求数列的通项公式及采用错位相减法求数列的前n项和，过程复杂，属于中档题．