Question

10．已知数列{a_n}是等比数列，其前n项和为S_n，满足S₂+a₁=0，a₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设数列{a_n}的公比为q，利用2a₁+a₁q=0及a₁≠0可知q=-2，进而通过a₃=12可知首项a₁=3，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S_n＞2016等价于（-2）ⁿ＜-2015，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
因为S₂+a₁=0，所以2a₁+a₁q=0，
因为a₁≠0，所以q=-2，
又因为${a_3}={a_1}{q^2}=12$，所以a₁=3，
所以${a_n}=3×{（-2）^{n-1}}$；
（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．
理由如下：
由（I）可知${S_n}=\frac{{3×[{1-{{（-2）}^n}}]}}{1-（-2）}=1-{（-2）^n}$，
令S_n＞2016，即1-（-2）ⁿ＞2016，整理得（-2）ⁿ＜-2015，
当n为偶数时，原不等式无解；
当n为奇数时，原不等式等价于2ⁿ＞2015，解得n≥11；
综上所述，所以满足S_n＞2016的正整数n的最小值为11．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．