Question

20．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{y≥x-1}\\{y≥-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$且目标函数z=-kx+y，当且仅当x=3，y=2时取得最大值，则实数的k的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y-kx当且仅当x=3，y=2时取最大值，得到直线y=kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
则A（3，2），B（1，2），
由z=-kx+y得y=kx+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=kx+z，则直线的截距最大时，z也最大，
当k＜0时，直线y=kx+z，在A（3，2）处的截距最大，
此时满足条件，
当k=0时，y=z在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，
当k＞0时，要使直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大
则目标函数的斜率k大于直线AC的斜率1，
即0＜k＜1，
综上k＜1，
故答案为：（-∞，1）

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．